Le 24 novembre
2012, en exposant une nouvelle fois la théorie des trois torsions au groupe
de travail composé de Marie-Laure Caussanel, Michel Thomé, et François
Duchène, je me suis aperçu, notamment grâce à la remarque de Marie Laure, qu’on pouvait
préciser de la manière suivante : il faut mieux définir ce qu’est une
torsion. Jusqu’à présent, je disais : c’est la fonction qui fait passer d’une face à l’autre. C’est
juste. Mais on peut préciser : c’est la fonction qui inverse la troisième
dimension, celle qui n’est pas dans la page d’écriture, de + z à – z. Or,
ceci ne peut se produire sans l’inversion des autres dimensions qui
construisent la surface, x et y. « La » torsion, celle que tout le monde fait
en préparant une bande de Moebius consiste à inverser la largeur, soit + y en
– y. Là-dessus, tout le monde sera d’accord. Le raboutage, que tout le monde
insiste à appeler « pli » et non torsion, consiste à inverser deux fois la
longueur, soit + x en – x. Or si, d’un point de vue intuitif on différencie
longueur et largeur en disant : la longueur est plus grande que la largeur,
quelle différence intrinsèque y a-t-il entre les deux dimensions de toute
surface ? D’autant que, en topologie, la mesure devrait nous être
indifférente. L’inversion de la largeur inverse aussi la profondeur, soit le
troisième dimension, z, faisant apparaître le dessous. L’inversion de la
longueur inverse de la même façon la profondeur, faisant aussi apparaître le
dessous. C’est exactement la même chose. Par conséquent je demande à ceux qui
insistent à appeler « pli » les deux torsions de raboutage, afin de nier
qu’elles soient torsions : quelle est, selon vous, la différence ? Comment définissez-vous
alors la torsion, de façon à la distinguer du pli ?
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El 24 de noviembre de 2012, en el
grupo de trabajo compuesto por Marie-Laure Caussanel, Michel Thomé y François
Duchène, al exponer una vez más la teoría de las tres torsiones y gracias a
la observación de Marie-Laure, me di cuenta que la teoría se podía precisar
de la siguiente manera:
Hay que precisar y definir más
claramente, lo que es una torsión.
Hasta el presente decía: Es la Función
que posibilita pasar de una cara a la otra. Está bien. Pero se puede
precisar: Es la función que invierte
la tercera dimensión, la que no está en la página de escritura de +z a –z.
Ahora bien, esto no puede
producirse sin la inversión de las otras dimensiones que construyen la
superficie, X y Y. “La” torsión, la
que todo el mundo hace al preparar una banda de Moebius consiste en invertir la
anchura, o sea +Y en –Y. Con esto, todo
el mundo estará de acuerdo. La unión de los extremos, que todo el mundo
insiste en llamar “pliegue” y no torsión, consiste en invertir dos veces la
anchura, o sea +X en –X. Ahora bien,
si, desde un punto de vista intuitivo diferenciamos anchura de longitud
diciendo: la longitud es más grande que la anchura, qué diferencia intrínseca
hay entre las dos dimensiones de toda superficie? Tanto más cuanto en
topología, la magnitud debería sernos indiferente. La inversión de la
longitud invierte también la profundidad, o sea, la tercera dimensión, Z,
haciendo aparecer también la parte inferior. Es la misma cosa exactamente.
Por lo tanto pregunto a los que insisten en llamar “pliegue” las dos
torsiones de unión en los extremos, con el fin de negar que sean torsiones:
¿Cuál es, según ustedes, la diferencia?
¿Cómo definen entonces, la torsión de forma que se distinga del
pliegue?
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Toute torsion
inverse la troisième dimension, et cela s’accompagne aussi de l’inversion de,
soit l’une, soit l’autre, des deux dimensions de la surface.
La
construction qui va suivre de la bande de Moebius carrée vient à l’appui de
cette remarque : là, plus de différence de mesure entre les dimensions.
D’ailleurs, les contraintes ainsi générées font disparaître toute différence
entre pli et torsion. Ici, on n’a le sentiment de ne faire que des plis. Ils sont
tous identiques et pourtant, ce sont des torsions.
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Toda torsión invierte la tercera
dimensión, y esto se acompaña también de la inversión de, sea una u otra, las
dos dimensiones de la superficie.
La construcción siguiente de la
banda de cuadrada viene a apoyar esta observación: allí, además de la diferencia
de magnitud entre las dimensiones. Por otra parte, las dificultades generadas
de este modo hacen desaparecer toda diferencia entre pliegue y torsión. Aquí
tenemos la impresión de no hacer sino pliegues. Todos son idénticos y por
otra parte, son torsiones.
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Raccourci qui
signifie : construction de la bande de Moebius à partir d’un carré. Vous avez remarqué que ce qui
caractérise une bande, la bande la plus commune, celle qui nous sert à
construire le bande de Moebius, c’est l’inégalité de la mesure de ces bords.
Nous partons habituellement d’un rectangle. Essayez d’effectuer les trois
mouvements de torsion indiqués plus haut à partir d’un carré ! Vous
constaterez que vous manquez sérieusement d’amplitude pour votre mouvement.
Une métaphore du blocage névrotique dans un symptôme ? Pourquoi pas…certains,
qui se veulent très carrés, en morale ou en métaphysique, en logique ou en mathématique,
peuvent y faire penser.
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Atajo que significa: construcción
de la banda de Moebius a partir de un cuadrado. Han observado que lo que caracteriza una banda, la
banda más común, la que nos sirve para construir la banda de Moebius, es la
desigualdad en la magnitud de estos bordes. Generalmente partimos de un
rectángulo. Trate de hacer los tres movimientos de torsión indicados anteriormente,
¡a partir de un cuadrado! Constatará que carece de amplitud para su movimiento.
¿Una metáfora del bloqueo neurótico en un síntoma? Por qué no… algunos que se quieren muy
cuadrados en moral o metafísica, en lógica o matemática, pueden estar
pensando.
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Si nous avons
pris soin de colorier l’une et l’Autre, nous pouvons repérer, dans les quatre
bords qui constituent la base du triangle obtenue, ceux qui font bord d’Une
face, et ceux qui font celui de l’Autre face. Ils sont opposés deux à deux.
Pour identifier une face et l’Autre face, il suffit de coller une bande de
scotch qui, enjambant un bord, réunit les bords de part et d’autre. Pour
effectuer correctement cet office, la bande de scotch doit présenter une
pliure : c’est la troisième torsion (-). On vérifie qu’on a bien construit
une bande de Moebius, en effectuant une coupure à deux tours dans l’objet
obtenu. Il en tombe en effet un bilatère et une bande de Moebius, plus aisément
reconnaissable comme telle, puisqu’elle
a acquis par cette opération la dissymétrie de bords que nous lui connaissons
habituellement.
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Si coloreamos el uno y el Otro,
podemos identificar en los cuatro bordes que constituyen la base del
triángulo obtenido, los bordes de Una cara, y los bordes de la Otra cara. Son dos opuestos. Para identificar una y
Otra cara, basta con unir con cinta pegante los bordes de una y Otra cara,
resultando un borde. Para realizarlo correctamente, la cinta pegante debe
presentar un pliegue; esta es la tercera torsión (-). Comprobamos que hemos
construido una banda de Moebius, haciendo un corte de dos vueltas en el
objeto obtenido. Cae en efecto una bilateral y una banda de Moebius, más
fácilmente reconocible como tal, puesto que adquirió por esta operación, la
disimetría de los bordes que normalmente vemos.
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